È protagonista, insieme a Guaita e Scopelli, della famosa fuga che nella stagione 1935-36 costa lo scudetto alla Roma, lasciandola praticamente monca all'attacco e senza possibilità di ovviare ai buchi lasciati in organico.
È la colonna del Racing, quando Lombardo, che è stato incaricato da Sacerdoti di trovare giocatori di assoluto valore in Argentina, gli propone l'avventura italiana. La notizia che Stagnaro sta per essere ceduto, provoca una vera e propria sommossa nella sua tifoseria e Lombardo rischia addirittura il linciaggio.
Stagnaro è un centromediano di assoluto valore, forte tecnicamente e nei contrasti e si è già messo in luce come uno dei migliori giocatori dell'intero panorama argentino. Tanto che del trio, è indicato come quello di maggior caratura.
Viene ufficialmente ingaggiato per la stagione 1933-1934 ma, insieme a Guaita e Scopelli, partecipa già a Giugno 1933 ad alcune amichevoli di fine stagione.
A Roma, però, le cose non vanno subito per il verso giusto.
Nel suo ruolo, infatti, si trova a dover battere la concorrenza di un certo Fulvio Bernardini che, non solo nella famosa Canzone di Testaccio, "dava scola all'argentini" e nel corso del primo anno non riesce a far vedere il suo effettivo valore, se non a sprazzi. Quando poi è riuscito a convincere un pò tutti, arriva un grave infortunio, che gli fa perdere tutta la stagione 1934-35. Gradatamente si riprende e comincia a far vedere che sta comprendendo il modo di giocare che si usa dalle nostre parti, ma il disagio rimane e contribuisce a scavare un solco tra lui e l'ambiente, dal quale probabilmente non si sente compreso, soprattutto se fa riferimento al modo in cui sono accuditi i suoi connazionali.
Dal punto di vista psicologico, perciò diventa il punto debole della colonia argentina ed è proprio lui a spingere maggiormente per la fuga, quando qualcuno, probabilmente su incarico di Vaccaro, Presidente della Federazione e tifoso della Lazio, gli fa capire che sta per essere inviato in Etiopia, dove si è in piena guerra, per l'espletamento del servizio militare.