Un vero giramondo nel panorama calcistico del dopoguerra.
Formatosi nella squadra della sua città natale, l'Aquila, Acconcia si mette in evidenza nell'immediato dopoguerra come mediano estremamente grintoso e tenace. È la Fiorentina ad accorgersi di lui e la società viola non ha di che pentirsi della fiducia accordata. Nei tre anni passati in viola, Acconcia dà luogo ad una evoluzione tecnica che lo porta ad essere giocatore di grande spessore, tanto da entrare nel giro azzurro.
Nel 1950, la Fiorentina lo cede all'Udinese, ove conferma quelle doti di grinta e predisposizione alla corsa che all'unanimità gli vengono riconosciute dagli addetti ai lavori. Doti delle quali si accorge anche Gipo Viani, colui che è stato chiamato da Renato Sacerdoti all'indomani della clamorosa caduta della Roma in serie B, per riportarla nel calcio che conta.
Viani sa benissimo che le doti tecniche nella serie cadetta, se non accompagnate da agonismo e vigore fisico, possono naufragare e in considerazione di ciò, fa il nome del mediano abruzzese al Banchiere di Testaccio, il quale aderisce senza indugio ai desiderata del suo tecnico, portando Acconcia a Roma.
E fa bene, poichè questi, insieme a Bortoletto, costruisce una ottima diga di fronte alla difesa, limitando al minimo i pericoli portati dagli attacchi avversari.
Il suo ciclo romano, dura però un solo anno. Nell'estate del 1952, a promozione ottenuta, Viani è costretto a lasciare la guida tecnica della Roma e Sacerdoti, avendo proceduto all'acquisizione di Bronèe e Pandolfini, decide di lasciarlo partire verso Genova, sponda rossoblù e di puntare su Venturi e Bortoletto.